Bestimmtes Integral ableiten

Question

Hi,

wie kann ich dieses Aufgabe lösen?

Berechnen Sie die Ableitung von:

$$g(x)=\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { cos(xy) }{ y } dy } ,\quad x>0$$

ich weiß, dass

$$g(x)'=\left(\int _{ 1 }^{ 2 }{ f(x,y)dy } \right)'=\left( F(x,2)-F(x,1) \right) '=F(x,2)'-F(x,1)'$$

wobei f nach y integriert wurde. Aber wie kann ich jetzt F wieder ableiten? F wurde ja nach y Integriert, aber ich muss es nach x ableiten.

Answer 1

Das ist ein Parameterintegral und die Sache hat mit dem Hauptsatz uebrhaupt nichts zu tun. Man darf die Ableitung nach x schlicht unter das Integral ziehen. Vergleiche den passenden Satz in Deinen Unterlagen. Wird manchmal Leibniz-Regel genannt.

Answer 2

Hi,

$$ \frac { dg(x) }{ dx } = \frac { d }{ dx } \int_{1}^{2} \frac {cos(xy) }{ y } dy = \int_{1}^{2} \frac { d }{ dx } \frac {cos(xy) }{ y } dy  = \int_{1}^{2} -sin(xy) dy   =   \frac { cos(2x) }{ x } -\frac { cos(x) }{ x } $$

Answer 3

    Schau mal im ===> Courant Bd. 2 Integrale ableiten geht wie Produktregel; du hast eine Summe aus zwei Termen:

   1) Du leitest nach der oberen Integrationsgrenze ab, als wenn der Parameter im Integranden überhaupt nicht vorkäme; hierbei kommt der Hauptsatz zur Anwendung ( entfällt hier.)

  2) Du leitest den Integranden nach dem Parameter ab, wobei du so tust, als ob die Grenzen nicht von dem Parameter abhängen ( Hier sind sie sowieso konstant. )  Damit erhältst du




    ( d/dy ) $  =  -  1 / y $  x sin  (  x y )  dx  -  1 / y ²  $  cos  (  x y  )  dx